ガロア理論のよくあるポイントは、以下の通りです。
１．「方程式が代数的に解ける」:
係数に対する加減乗除の四則演算と冪根を求める有限回操作で解を持つ
つまり、『冪根拡大体の列を持つ』
例えば、方程式X⁵＝５は、冪根で表されるので、代数的に解けます。
２．「ガロア群が可解群である」：
『ガロア群が正規部分群の列を持ち、全ての剰余群が巡回群である』
例えば、方程式X⁵＝５のガロア群は、素数位数５の巡回群になるので、ガロア群は可解群です。
３． 『冪根拡大体の列を持つ』 ⇒ 正規拡大体の列にできる
⇒ 『ガロア群が正規部分群の列を持ち、全ての剰余群が巡回群である』
なので、 「方程式が代数的に解ける」⇒「ガロア群が可解群である」 がいえます。
４．ガロア群が可解群でない ⇒ 方程式が代数的に解けない
または、全ての剰余群が巡回群でない
⇒ 方程式が代数的に解けない もいえます。
なお、なにか疑問が起こったら、下記の本が疑問に答えてくれるとおもいます。
