フェルマーの最終定理のよくある簡易的証明のポイント3X_その1

フェルマーの最終定理

フェルマーの最終定理のよくある簡易的証明のポイントをご紹介します。

 

 X^n + Y^n = Z^nで、 X,Y,Zが互いに素、ｎ≧３が素数の自然数

として矛盾を導きます。

 

 流れのポイントは、次の[1][2][3][4][5][6]です。

 

[1] E=X+Y-Z と  X=A+E, Y＝B+E, Z=C+E から

 ⇒ A+B=C, n｜E,  n*A*B｜E^n になります。　

 

[2] E'=Z+(-Y)-X と Z=C'+E', (-Y)＝B'+E', X=A'+E' から

 ⇒ C'+B'=A', n｜E', n*C'*B'｜E'^n になります。

 

[3] E"=Z+(-X)-Yと Z=C"+E", (-X)=A"+E", Y＝B"+E" から

 ⇒ C"+A"=B", n｜E", n*C"*A"｜E"^n になります。

 

[4] E'"=(-Z)+Y-(-X) と (-Z)=C'"+E'", Y＝B'"+E'", (-X)=A'"+E'" から

 ⇒ C'"+B'"=A'", n｜E'", n*C'"*B'"｜E'"^n になります。

 

[5] E""=(-Z)+X-(-Y) と (-Z)=C""+E""、X=A""+E""、(-Y)＝B""+E"" から

 ⇒ C""+A""=B"", n｜E"", n*C""*A""｜E""^n になります。

 

(E^n)/n, (E'^n)/n, (E"^n)/n, (E'"^n)/n, (E""^n)/n が、

それぞれA,B,CおよびA',B',C'およびA",B",C"および

A'",B'",C'"およびA"",B"",C""で、割り切れることから、

n∤X*Y*Zを導きます。

 

[6] n∤X*Y*Zから A=a^n, B=b^n, C=c^nと A+B=C より  

⇒ a^n＋b^n＝c^n になって、 E＝0と X+Y=Z から、

矛盾を導きます。

 

次に、流れのポイントを順次ご説明します。

 

[1] E=X+Y-Z と  X=A+E, Y＝B+E, Z=C+E から

 ⇒ A+B=C, n｜E,  n*A*B｜E^n をご説明します。

 

E＝X+Y-Zとして、 X=A+E、Y＝B+E、Z=C+Eと置くと、

A+B=Cになります。

 

なぜなら、
E-Y=X-Z=-B
E-X=Y-Z=-A
E-Z=(X-Z)+(Y-Z)=-C
だから、A+B=Cになります。

(A+E)^n + (B+E)^n = (C+E)^nなので、

A^n+Σ[k=1,n-1]nCk*A^k*E^(n-k)+E^n+
B^n+Σ[k=1,n-1]nCk*B^k*E^(n-k)+E^n=
C^n+Σ[k=1,n-1]nCk*C^k*E^(n-k)+E^n

E^n=

{C^n-A^n-B^n}+

Σ[k=1,n-1]nCk*{C^k-A^k-B^k}*E^(n-k)


 C=A+Bを代入すると、

E^n=

{(A+B)^n-A^n-B^n}+

Σ[k=1,n-1]nCk*{(A+B)^k-A^k-B^k}*E^(n-k)


E^n=

Σ[k=1,n-1]nCk*A^k*B^(n-k)+

Σ[k=2,n-1]nCk*{Σ[m=1,k-1]nCm*A^m*B^(k-m)}*E^(n-k)


右辺の各項は、nCk*A*Bを含み、n｜nCkだからn*A*B｜E^n

nは3以上の素数なので、n｜E, rad(A)｜E, rad(B)｜E


右辺の各項と左辺の各項を、n*Aで割ると、

E^n/(n*A)=
{(E^n)/n}/A=

B^(n-1)+{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*A^(k-1)*B^(n-k)}+
Σ[k=2,n-1]B*(nCk/n)*{Σ[m=1,k-1]kCm*A^(m-1)*B^(k-m-1)}*E^(n-k)

もし、

{(E^n)/n}/AにAの素因数が残っていれば、

rad(A)｜Eで、
A|{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*A^(k-1)*B^(n-k)}だから、

B^(n-1)もAの素因数を持ちます。
AとBは互いに素だから、これは矛盾します。

なので、
{(E^n)/n}/AにAの素因数は残っていません。

いいかえれば、

{(E^n)/n}は、ちょうどAで割り切れることになります。


同様に、右辺の各項と左辺の各項を、n*Bで割ると、

E^n/(n*B)=
{(E^n)/n}/B=

A^(n-1)+{Σ[k=1,n-2](nCk/n)*A^k*B^(n-k-1)}+
Σ[k=2,n-1]A*(nCk/n)*{Σ[m=1,k-1]kCm*A^(m-1)*B^(k-m-1)}*E^(n-k)

もし、

{(E^n)/n}/BにBの素因数が残っていれば、

rad(B)｜Eで、
B|{Σ[k=1,n-2](nCk/n)*A^k*B^(n-k-1)}だから、

A^(n-1)もBの素因数を持ちます。
AとBは互いに素だから、これは矛盾です。

なので、
{(E^n)/n}/BにBの素因数は残っていません。

いいかえれば、

(E^n/n)は、ちょうどBで割り切れることになります。

 

 同様にして、

 フェルマーの最終定理のよくある簡易的証明のポイント3_その2 へ続きます。