フェルマーの最終定理のよくある簡易的証明をご紹介します。
X^n + Y^n = Z^nで、
X,Y,Zが互いに素な自然数、ｎが奇素数として 矛盾を導きます。
[1] (D1, D2, D3) = (X, Y, Z)のとき、
E= D1+D2-D3 =E1、(P1, P2, P3)=(A1, B1, C1)とすると、
上記から
互いに素な0でない整数の組 (P1, P2, P3)=(D1-E, D2-E, D3-E)が
一意にきまります。
このとき、P1+P2=P3
⇒ X^n + Y^n = Z^n のとき
E1= X+Y-Z とすると、
互いに素な0でない整数の組 (A1, B1, C1)=(X-E1, Y-E1, Z-E1)
このとき、A1+B1=C1
[2] (D1, D2, D3) = (Z, X, Y)のとき、
E= D1-D2-D3 =E2、(P1, P2, P3)=(C2, A2, B2)とすると、
上記から
互いに素な0でない整数の組 (P1, P2, P3)=(D1-E, D2-E, D3-E)が
一意にきまります。
このとき、P1=P2+P3
⇒ Z^n = X^n + Y^n のとき
E2= Z-X-Y とすると、
互いに素な0でない整数の組 (C2, A2, B2)=(Z-E2, X-E2, Y-E2)
このとき、C2=A2+B2
また、E2=-(X+Y-Z)=-E1なので、(C2, A2, B2)=(Z+E1, X+E1, Y+E1)
[3] [1]から(A1,B1,C1)=(X-E1, Y-E1, Z-E1)より
A1=X-E1, B1=Y-E1, C1=Z-E1なので
X=A1+E1, Y=B1+E1, Z=C1+E1
[2]から(C2, A2, B2)=(Z+E1, X+E1, Y+E1)より
C2=Z+E1, A2=X+E1, B2=Y+E1なので
X=A2-E1, Y=B2-E1, Z=C2-E1
したがって
[1]と[2]から、
X=A1+E1=A2-E1より、A2-A1=2*E1
Y=B1+E1=B2-E1より、B2-B1=2*E1
Z=C1+E1=C2-E1より、C2-C1=2*E1
A2=A1+2*E1, B2=B1+2*E1, C2=C1+2*E1 から、
[1]から C1= A1+B1 より
2*E1 + C1+2*E1 = A1+2*E1 + B1+2*E1
E1 + C1+E1 = A1+E1 + B1+E1
E1 + Z = X + Y
[2]から C2=A2+B2 より
-E1 + C2-E1 = A2-E1 + B2-E1
-E1 + Z = X + Y
なので、E1 + Z = X + Y = -E1 + Z
E1 + Z = -E1 + Z
したがって、2*E1 = 0
E1=0だから、X+Y=Zになるので、
(X+Y)^n = Z^nより
X^n + Y^n +{Σ[1,n-1]nCk*(X^k)*Y^(n-k)} = Z^n
X^n + Y^n = Z^nで、X,Yは自然数なので、
{Σ[1,n-1]nCk*(X^k)*Y^(n-k)}=0となり、矛盾します。
なので、 X^n + Y^n = Z^nで、
