フェルマーの最終定理のよくある初等的証明をご紹介します。
X^n + Y^n = Z^nで、 X,Y,Zが互いに素な自然数、ｎが奇素数として
矛盾を導きます。
流れのポイントは、次の[1][2][3][4][5]です。
[1] E=X+Y-Z と X=A+E, Y＝B+E, Z=C+E とおくと
⇒ A+B=C, n｜E, n*A｜E^n, n*B｜E^n, n*C｜E^nになります。
[2] E'=(-X)+Z-Y と (-X)=A'+E', Y＝B'+E', Z=C'+E' とおくと
⇒ A'+C'=B', n｜E', n*A'｜E'^n, n*B'｜E'^n, n*C'｜E'^nになります。
[3] E"=(-Y)+Z-X と X=A"+E", (-Y)＝B"+E", Z=C"+E" とおくと
⇒ B"+C"=A", n｜E", n*A"｜E"^n, n*B"｜E"^n, n*C"｜E"^nになります。
[4]E≠０とすると、A=a^n, B=b^n, C=c^nと A+B=C から
⇒ a^n＋b^n＝c^n になり、 c<Zより、自然数Zが最小であれば矛盾します。
[5] E＝0 とすると、X+Y=Z から
⇒ 自然数 X,Y,Z で、X^n + Y^n < (X+Y)^n より、
X^n + Y^n = Z^n であることに矛盾します。
次に、[1][2][3][4][5]を順にご説明します。
[1] E=X+Y-Z と X=A+E, Y＝B+E, Z=C+E とおくと
⇒ A+B=C, n｜E, n*A｜E^n, n*B｜E^n, n*C｜E^nになります。
[ご説明]
E＝X+Y-Zとして、 X=A+E、Y＝B+E、Z=C+Eとおくと、
A+B=C になります。
なぜなら、
E-Y=X-Z=-B
E-X=Y-Z=-A
E-Z=(X-Z)+(Y-Z)=-C
だから、A+B=C になります。
X^n + Y^n = Z^n に
X=A+E、Y＝B+E、Z=C+Eを代入すると、
(A+E)^n + (B+E)^n = (C+E)^n
A^n+Σ[k=1,n-1]nCk*A^k*E^(n-k)+E^n+
B^n+Σ[k=1,n-1]nCk*B^k*E^(n-k)+E^n=
C^n+Σ[k=1,n-1]nCk*C^k*E^(n-k)+E^n
E^n=
{C^n-A^n-B^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{C^k-A^k-B^k}*E^(n-k)
C=A+Bを代入すると、
E^n=
{(A+B)^n-A^n-B^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{(A+B)^k-A^k-B^k}*E^(n-k)
E^n=
Σ[k=1,n-1]nCk*A^k*B^(n-k)+
Σ[k=1,n-1]nCk*{(A+B)^k-A^k-B^k}*E^(n-k)
右辺の各項は、nCkを含み、n｜nCk だから、 n｜右辺
だから n｜左辺 より、 n｜E^n から n｜E
(1) Aについて
右辺の各項は、nCk*Aを含み、n｜nCkだからn*A｜E^n
nは奇素数なので、n｜E, rad(A)｜E
右辺の各項と左辺の各項を、n*Aで割ると、
E^n/(n*A)=
{(E^n)/n}/A=
B^(n-1)+{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*A^(k-1)*B^(n-k)}+
Σ[k=2,n-1]B*(nCk/n)*{Σ[m=1,k-1]kCm*A^(m-1)*B^(k-m-1)}*E^(n-k)
もし、
{(E^n)/n}/AにAの素因数が残っていれば、
rad(A)｜Eで、
A|{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*A^(k-1)*B^(n-k)}だから、
B^(n-1)もAの素因数を持ちます。
AとBは互いに素だから、これは矛盾します。
なので、
{(E^n)/n}/AにAの素因数は残っていません。
いいかえれば、
{(E^n)/n}は、ちょうどAで割り切れることになります。
Aは、(E^n/n)をちょうど割り切るので、
Aの素因数pの冪は、p^m | E かつ p^(m+1) ∤ Eのとき
p≠nで、p^mn の形をしています。
また、もし素因数p=nがあれば、
p=nの冪は、p^(mn-1)の形をしています。
(2) Bについて
Aと同様にして、
{(E^n)/n}は、ちょうどBで割り切れることになります。
Bは、(E^n/n)をちょうど割り切るので、
Bの素因数pの冪は、p^m | E かつ p^(m+1) ∤ Eのとき
p≠nで、p^mnの形をしています。
また、もし素因数p=nがあれば、
p=nの冪は、p^(mn-1)の形をしています。
(3) Cについて
以下の通り、{(E^n)/n}は、ちょうどCで割り切れることになります。
Z= C+E, X= A+E, Y= B+E だから
Z^n = X^n + Y^n
に代入すると、
(C+E)^n = (A+E)^n + (B+E)^nなので、
(C+E)^n - (B+E)^n - (A+E)^n = 0
B = C-A を代入して
(C+E)^n - (C-A +E)^n - (A+E)^n = 0
(C+E)^n + {(-C+A) -E}^n + {(-A)-E}^n = 0
C^n + Σ[k=1,n-1]nCk*C^k*E^(n-k) +E^n +
(-C+A)^n + Σ[k=1,n-1]nCk*(-C+A)^k*(-E)^(n-k) +(-E)^n +
(-A)^n + Σ[k=1,n-1]nCk*(-A)^k*(-E)^(n-k) +(-E)^n = 0
-(-E)^n=
{C^n +(-C+A)^n +(-A)^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{ C^k*E^(n-k) +(-C+A)^k*(-E)^(n-k) +(-A)^k*(-E)^(n-k) }
E^n=
{C^n -(C-A)^n -A^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{ C^k*E^(n-k) -(C-A)^k*E^(n-k) -A^k*E^(n-k) } =
-Σ[k=1,n-1]nCk*C^k*(-A)^(n-k) +
Σ[k=1,n-1]nCk*{ C^k -(C-A)^k -A^k }*E^(n-k)
E^n=
-Σ[k=1,n-1]nCk*C^k*(-A)^(n-k) +
-Σ[k=2,n-1]nCk*{Σ[m=1,k-1]nCm*C^m*(-A)^(k-m)}*E^(n-k)
右辺の各項は、nCk*Cを含み、n｜nCkだからn*C｜E^n
nは奇素数なので、n｜E, rad(C)｜E
右辺の各項と左辺の各項を、n*Cで割ると、
(E^n)/(n*C)=
{(E^n)/n}/C=
-(-A)^(n-1)-{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*C^(k-1)*(-A)^(n-k)}+
-Σ[k=2,n-1](nCk/n)*{Σ[m=1,k-1]kCm*C^(m-1)*(-A)^(k-m)}*E^(n-k)
もし、
{(E^n)/n}/C に C の素因数が残っていれば、
rad(C)｜E で、
C |{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*C^(k-1)*(-A)^(n-k)}だから、
(-A)^(n-1)も C の素因数を持ちます。
A と C は互いに素だから、これは矛盾します。
なので、
{(E^n)/n}/C に C の素因数は残っていません。
いいかえれば、
{(E^n)/n}は、ちょうど C で割り切れることになります。
Cは、(E^n/n)をちょうど割り切るので、
Cの素因数pの冪は、p^m | E かつ p^(m+1) ∤ Eのとき
p≠nで、p^mnの形をしています。
また、もし素因数p=nがあれば、
p=nの冪は、p^(mn-1)の形をしています。
[2] E'=(-X)+Z-Y と (-X)=A'+E', Y＝B'+E', Z=C'+E' とおくと
⇒ A'+C'=B', n｜E', n*A'｜E'^n, n*B'｜E'^n, n*C'｜E'^nになります。
[ご説明]
E'=(-X)+Z-Y で、(-X)=A'+E'、Y＝B'+E'、Z=C'+E' とおくと、
A'+C'=B' になります。
-(X^n) + Z^n = Y^n に
(-X)=A'+E'、Y＝B'+E'、Z=C'+E' を代入すると、
E'=-Eより、-A=-(X-E)=(-X)-E'=A'
(A'+E')^n + (C'+E')^n = (B'+E')^nなので、
A'^n +Σ[k=1,n-1]nCk*A'^k*E'^(n-k) +E'^n+
C'^n +Σ[k=1,n-1]nCk*C'^k*E'^(n-k) +E'^n=
B'^n +Σ[k=1,n-1]nCk*B'^k*E'^(n-k) +E'^n
C' = B'-A' を代入して
(B'+E')^n - (B'-A' +E')^n - (A'+E')^n = 0
(B'+E)^n + {(-B'+A') -E'}^n + {(-A')-E'}^n = 0
B'^n + Σ[k=1,n-1]nCk*B'^k*E'^(n-k) +E'^n +
(-B'+A')^n + Σ[k=1,n-1]nCk*(-B'+A')^k*(-E')^(n-k) +(-E')^n +
(-A')^n + Σ[k=1,n-1]nCk*(-A')^k*(-E')^(n-k) +(-E')^n = 0
-(-E')^n=
{B'^n +(-B'+A')^n +(-A')^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{ B'^k*E'^(n-k) +(-B'+A')^k*(-E')^(n-k) +
(-A')^k*(-E')^(n-k) }
E'^n=
{B'^n -(B'-A')^n -A'^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{ B'^k*E'^(n-k) -(B'-A')^k*E'^(n-k) -A'^k*E'^(n-k) } =
-Σ[k=1,n-1]nCk*B'^k*(-A')^(n-k) +
Σ[k=1,n-1]nCk*{ B'^k -(B'-A')^k -A'^k }*E'^(n-k)
(1) A' について
E'=-E, -A=-(X-E)=(-X)-E'=A' より、
[1]の(1) A と同じ素因数を持ちます。
(2) B'について
E'^n=
-Σ[k=1,n-1]nCk*B'^k*(-A')^(n-k) +
-Σ[k=2,n-1]nCk*{Σ[m=1,k-1]nCm*B'^m*(-A')^(k-m)}*E'^(n-k)
右辺の各項は、nCk*B'を含み、n｜nCkだからn*B'｜E'^n
nは奇素数なので、n｜E', rad(B')｜E'
右辺の各項と左辺の各項を、n*B'で割ると、
(E’^n)/(n*B')=
{(E’^n)/n}/B'=
-(-A')^(n-1)-{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*B'^(k-1)*(-A')^(n-k)}+
-Σ[k=2,n-1](nCk/n)*{Σ[m=1,k-1]kCm*B'^(m-1)*(-A')^(k-m)}*E'^(n-k)
もし、
{(E'^n)/n}/B' に B' の素因数が残っていれば、
rad(B')｜E' で、
B' |{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*B'^(k-1)*(-A')^(n-k)}だから、
(-A')^(n-1)も B' の素因数を持ちます。
A' と B' は互いに素だから、これは矛盾します。
なので、
{(E'^n)/n}/B' に B' の素因数は残っていません。
いいかえれば、
{(E'^n)/n}は、ちょうど B' で割り切れることになります。
B'は、(E'^n/n)をちょうど割り切るので、
B'の素因数pの冪は、p^m | E' かつ p^(m+1) ∤ E'のとき
p≠nで、p^mnの形をしています。
また、もし素因数p=nがあれば、
p=nの冪は、p^(mn-1)の形をしています。
---------------------------->p≠nのご説明
もし、Bに素因数p=nがあれば、
E'=-E, B'- B=(Y-E')-(Y-E)=2*Eより、
B'-B =2*E
B'-B =2*Eについて、rad(B)⊆rad(B')より
左辺Bの素因数p=nは、左辺B'の素因数p=nでもあり、
ともに、左辺の素因数p=nの冪は、p^(mn-1)の形をしています。
ところが、右辺の素因数p=nの冪は、p^mです。
n≧3なので、
p^(mn-1)＞p^m
だから、
左辺のｐ=nの冪と右辺のｐ=nの冪が異なり矛盾します。
したがって、Bは素因数p=nを持たないので、
Bの素因数pの冪は p^mn の形をしています。
つまり、B=∏ p^mn=(∏ p^m)^n
ここで、(∏ p^m)=bとおくと、B=b^nとなります。
(3) C' について
E'^n=
{B'^n -A'^n -C'^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{B'^k -A'^k -C'^k}*E'^(n-k)
A'+C'=B' を代入すると、
E'^n=
{(A'+C')^n -A'^n -C'^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{(A'+C')^k -A'^k -C'^k}*E'^(n-k)
右辺の各項は、nCkを含み、n｜nCk だから、 n｜右辺
だから n｜左辺 より、 n｜E'^n から n｜E'
右辺の各項と左辺の各項を、n*C' で割ると、
E'^n/(n*C')=
{(E'^n)/n}/C'=
A'^(n-1)+{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*C'^(k-1)*A'^(n-k)}+
Σ[k=2,n-1](nCk/n)*{Σ[m=1,k-1]kCm*C'^(m-1)*A'^(k-m)}*E'^(n-k)
もし、
{(E'^n)/n}/C'にC'の素因数が残っていれば、
rad(C')｜E'で、
C'|{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*C'^(k-1)*A'^(n-k)}だから、
A'^(n-1)もC'の素因数を持ちます。
C'とA'は互いに素だから、これは矛盾します。
なので、
{(E'^n)/n}/C'にC'の素因数は残っていません。
いいかえれば、
{(E'^n)/n}は、ちょうどC'で割り切れることになります。
C'は、(E'^n/n)をちょうど割り切るので、
C'の素因数pの冪は、p^m | E' かつ p^(m+1) ∤ E'のとき
p≠nで、p^mnの形をしています。
また、もし素因数p=nがあれば、
p=nの冪は、p^(mn-1)の形をしています。
---------------------------->p≠nのご説明
もし、Cに素因数p=nがあれば、
E'=-E, C'- C=(Z-E')-(Z-E)=2*Eより、
C'-C =2*E
C'-C =2*Eについて、rad(C)⊆rad(C')より
左辺Cの素因数p=nは、左辺C'の素因数p=nでもあり、
ともに、左辺の素因数p=nの冪はp^(mn-1)の形をしています。
ところが、右辺の素因数p=nの冪は、p^mです。
n≧3なので、
p^(mn-1)＞p^m
だから、
左辺のｐ=nの冪と右辺のｐ=nの冪が異なり矛盾します。
したがって、Cは素因数p=nを持たないので、
Cの素因数pの冪は p^mn の形をしています。
つまり、C=∏ p^mn=(∏ p^m)^n
ここで、(∏ p^m)=cとおくと、C=c^nとなります。
[3] E"=(-Y)+Z-X と X=A"+E", (-Y)＝B"+E", Z=C"+E" とおくと
⇒ B"+C"=A", n｜E", n*A"｜E"^n, n*B"｜E"^n, n*C"｜E"^nになります。
[ご説明]
E"=(-Y)+Z-X で、X=A"+E", (-Y)＝B"+E", Z=C"+E" とおくと
B"+C"=A"になります。
-(Y^n) + Z^n = X^n に
X=A"+E", (-Y)＝B"+E", Z=C"+E" を代入すると、
E'=-Eより、-B=-(Y-E)=(-Y)-E"=B"
(B"+E")^n + (C"+E")^n = (A"+E")^n なので
B"^n+Σ[k=1,n-1]nCk*B"^k*E"^(n-k)+E"^n+
C"^n+Σ[k=1,n-1]nCk*C"^k*E"^(n-k)+E"^n=
A"^n+Σ[k=1,n-1]nCk*A"^k*E"^(n-k)+E"^n
(1) A" について
E"^n=
{A"^n-B"^n-C"^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{A"^k-B"^k-C"^k}*E"^(n-k)
C" = A"-B" を代入して
(A"+E")^n - (A"-B"+E")^n - (B"+E")^n = 0
(A"+E")^n - {(A"-B")+E"}^n + {(-B")-E"}^n = 0
A"^n + Σ[k=1,n-1]nCk*A"^k*E"^(n-k) +E"^n +
(A"-B")^n + Σ[k=1,n-1]nCk*(A"-B")^k*E"^(n-k) +E"^n +
(-B")^n + Σ[k=1,n-1]nCk*(-B")^k*(-E")^(n-k) +(-E")^n = 0
-(-E")^n=
{A"^n - (A"-B")^n + (-B")^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{ A"^k*E"^(n-k) - (A"-B")^k*E"^(n-k) +
(-B")^k*(-E")^(n-k) }
E"^n=
{A"^n - (A"-B")^n - B"^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{ A"^k*E"^(n-k) - (A"-B")^k*E"^(n-k) -
B"^k*E"^(n-k) } =
-Σ[k=1,n-1]nCk*A"^k*(-B")^(n-k) +
Σ[k=1,n-1]nCk*{ A"^k -(A"-B")^k -B"^k }*E"^(n-k)
E"^n=
-Σ[k=1,n-1]nCk*A"^k*(-B")^(n-k) +
-Σ[k=2,n-1]nCk*{Σ[m=1,k-1]nCm*A"^m*(-B")^(k-m)}*E"^(n-k)
右辺の各項は、nCk*A"を含み、n｜nCkだからn*A"｜E"^n
nは奇素数なので、n｜E", rad(A")｜E"
右辺の各項と左辺の各項を、n*A"で割ると、
(E"^n)/(n*A")=
{(E"^n)/n}/A"=
-(-B")^(n-1)-{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*A"^(k-1)*(-B")^(n-k)}+
-Σ[k=2,n-1](nCk/n)*{Σ[m=1,k-1]kCm*A"^(m-1)*(-B")^(k-m)}*E"^(n-k)
もし、
{(E"^n)/n}/A" に A" の素因数が残っていれば、
rad(A")｜E" で、
A" |{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*A"^(k-1)*(-B")^(n-k)}だから、
(-B")^(n-1)も A" の素因数を持ちます。
B" と A" は互いに素だから、これは矛盾します。
なので、
{(E"^n)/n}/A" に A" の素因数は残っていません。
いいかえれば、
{(E"^n)/n}は、ちょうど A" で割り切れることになります。
A"は、(E"^n/n)をちょうど割り切るので、
A"の素因数pの冪は、p^m | E" かつ p^(m+1) ∤ E"のとき
p≠nで、p^mnの形をしています。
また、もし素因数p=nがあれば、
p=nの冪はp^(mn-1)の形をしています。
---------------------------->p≠nのご説明
もし、Aに素因数p=nがあれば、
E"=-E, A"- A=(X-E")-(X-E)=2*Eより、
A"-A =2*E
A"-A =2*Eについて、rad(A)⊆rad(A")より
左辺Aの素因数p=nは、左辺A"の素因数p=nでもあり、
ともに、左辺の素因数p=nの冪はp^(mn-1)の形をしています。
ところが、右辺の素因数p=nの冪は、p^mです。
n≧3なので、
p^(mn-1)＞p^m
だから、
左辺のｐ=nの冪と右辺のｐ=nの冪が異なり矛盾します。
したがって、Aは素因数p=nを持たないので、
Aの素因数pの冪は p^mn の形をしています。
つまり、A=∏ p^mn=(∏ p^m)^n
ここで、(∏ p^m)=aとおくと、A=a^nとなります。
(2) B" について
E"=-E, -B=-(Y-E)=(-Y)-E"=B" より、
[1]の(2) B と同じ素因数を持ちます。
(3) C" について
E"=E'=-E, C'=Z-E'=Z-E"=C" より、
[2]の(3) C' と同じ素因数を持ちます。
[4] E≠０とすると、A=a^n, B=b^n, C=c^nと A+B=C から
⇒ a^n＋b^n＝c^n になり、 c<Zより、自然数Zが最小であれば矛盾します。
[ご説明]
上記[3]の(1)から、A=a^n
上記[2]の(2)から、B=b^n
上記[2]の(3)から、C=c^n
だだし、a,b,cは自然数
A+B=Cに代入すると、a^n＋b^n＝c^n
E≠0のとき、a≦A<X, b≦B<Y, c<C<Z
ただし、等号はA=1またはＢ=1のとき
c<Zより、自然数Zが最小であれば矛盾します。
[5] E＝0 とすると、X+Y=Z から
⇒ 自然数 X,Y,Z で、X^n + Y^n < (X+Y)^n より、
X^n + Y^n = Z^n であることに矛盾します。
[ご説明]
E＝０のときは、
E= X+Y-Z= 0 だから X+Y=Z
(X+Y)^n = Z^nより
X^n + Y^n +{ΣnCk*(X^k)*Y^(n-k)} = Z^n
X^n + Y^n = Z^nで、X,Yは自然数なので、
{ΣnCk*(X^k)*Y^(n-k)}=0となり、矛盾します。
なので、[4]と[5]から、
X^n + Y^n = Z^nで、 X,Y,Zが互いに素な自然数で、
なお、n=4のときの証明は既知とします。
