フェルマーの最終定理のよくある簡易的証明のポイントをご紹介します。
X^n + Y^n = Z^nで、 X,Y,Zが互いに素な自然数、ｎが奇素数として
矛盾を導きます。
流れのポイントは、次の[1][2][3]です。
[1] E=X+Y-Z と X=A+E, Y＝B+E, Z=C+E とおくと
⇒ A+B=C, n｜E, n*A｜E^n
[2] E"=(-Y)+Z-X と X=A"+E", (-Y)＝B"+E", Z=C"+E" とおくと
⇒ B"+C"=A", n｜E", n*A"｜E"^n
[3] E"=-E, A"- A=2*E, rad(A) | rad(E), rad(A") | rad(E),
A|(E^n)/n, A"|(E^n)/n から
⇒ rad(A) | rad(A"), n｜E, A"=A+2*E,
AとA"の素因数pの冪は、p^mnまたはp^(mn-1)の形で矛盾
次に、[1][2][3]の順にご説明します。
[1] E=X+Y-Z と X=A+E, Y＝B+E, Z=C+E とおくと
⇒ A+B=C, n｜E, n*A｜E^n のご説明
E＝X+Y-Zとして、 X=A+E、Y＝B+E、Z=C+Eと置くと、 A+B=Cになります。
なぜなら、
E-Y=X-Z=-B
E-X=Y-Z=-A
E-Z=(X-Z)+(Y-Z)=-C
だから、A+B=Cになります。
AとBのどちらかは、1ではないので、A≠1とする
なぜなら、A=B=1とすると、X=Yになるから。
(A+E)^n + (B+E)^n = (C+E)^nなので、
A^n+Σ[k=1,n-1]nCk*A^k*E^(n-k)+E^n+
B^n+Σ[k=1,n-1]nCk*B^k*E^(n-k)+E^n=
C^n+Σ[k=1,n-1]nCk*C^k*E^(n-k)+E^n
E^n=
{C^n-A^n-B^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{C^k-A^k-B^k}*E^(n-k)
C=A+Bを代入すると、
E^n=
{(A+B)^n-A^n-B^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{(A+B)^k-A^k-B^k}*E^(n-k)
E^n=
Σ[k=1,n-1]nCk*A^k*B^(n-k)+
Σ[k=2,n-1]nCk*{Σ[m=1,k-1]nCm*A^m*B^(k-m)}*E^(n-k)
右辺の各項は、nCk*Aを含み、n｜nCkだからn*A｜E^n
nは3以上の素数なので、n｜E, rad(A)｜E
右辺の各項と左辺の各項を、n*Aで割ると、
E^n/(n*A)=
{(E^n)/n}/A=
B^(n-1)+{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*A^(k-1)*B^(n-k)}+
Σ[k=2,n-1]B*(nCk/n)*{Σ[m=1,k-1]kCm*A^(m-1)*B^(k-m-1)}*E^(n-k)
もし、
{(E^n)/n}/AにAの素因数が残っていれば、
rad(A)｜Eで、
A|{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*A^(k-1)*B^(n-k)}だから、
B^(n-1)もAの素因数を持ちます。
AとBは互いに素だから、これは矛盾します。
なので、
{(E^n)/n}/AにAの素因数は残っていません。
いいかえれば、
{(E^n)/n}は、ちょうどAで割り切れることになります。
Aは、(E^n/n)をちょうど割り切るので、
Aの素因数pの冪は、p^m | E かつ p^(m+1) ∤ Eのとき
p≠nで、p^mnの形をしています。
また、もし素因数p=nがあれば、
p=nの冪はp^(mn-1)の形をしています。
[2] E"=(-Y)+Z-X と X=A"+E", (-Y)＝B"+E", Z=C"+E" とおくと
⇒ B"+C"=A", n｜E", n*A"｜E"^n のご説明
E"=(-Y)+Z-X で、X=A"+E", (-Y)＝B"+E", Z=C"+E" とおくと
B"+C"=A"になります。
-(Y^n) + Z^n = X^n に
X=A"+E", (-Y)＝B"+E", Z=C"+E" を代入すると、
E'=-Eより、-B=-(Y-E)=(-Y)-E"=B"
(B"+E")^n + (C"+E")^n = (A"+E")^n なので
B"^n+Σ[k=1,n-1]nCk*B"^k*E"^(n-k)+E"^n+
C"^n+Σ[k=1,n-1]nCk*C"^k*E"^(n-k)+E"^n=
A"^n+Σ[k=1,n-1]nCk*A"^k*E"^(n-k)+E"^n
A" について
E"^n=
{A"^n-B"^n-C"^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{A"^k-B"^k-C"^k}*E"^(n-k)
C" = A"-B" を代入して
(A"+E")^n - (A"-B"+E")^n - (B"+E")^n = 0
(A"+E")^n - {(A"-B")+E"}^n + {(-B")-E"}^n = 0
A"^n + Σ[k=1,n-1]nCk*A"^k*E"^(n-k) +E"^n +
(A"-B")^n + Σ[k=1,n-1]nCk*(A"-B")^k*E"^(n-k) +E"^n +
(-B")^n + Σ[k=1,n-1]nCk*(-B")^k*(-E")^(n-k) +(-E")^n = 0
-(-E")^n=
{A"^n - (A"-B")^n + (-B")^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{ A"^k*E"^(n-k) - (A"-B")^k*E"^(n-k) +
(-B")^k*(-E")^(n-k) }
E"^n=
{A"^n - (A"-B")^n - B"^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{ A"^k*E"^(n-k) - (A"-B")^k*E"^(n-k) -
B"^k*E"^(n-k) } =
-Σ[k=1,n-1]nCk*A"^k*(-B")^(n-k) +
Σ[k=1,n-1]nCk*{ A"^k -(A"-B")^k -B"^k }*E"^(n-k)
E"^n=
-Σ[k=1,n-1]nCk*A"^k*(-B")^(n-k) +
-Σ[k=2,n-1]nCk*{Σ[m=1,k-1]nCm*A"^m*(-B")^(k-m)}*E"^(n-k)
右辺の各項は、nCk*A"を含み、n｜nCkだからn*A"｜E"^n
nは奇素数なので、n｜E", rad(A")｜E"
右辺の各項と左辺の各項を、n*A"で割ると、
(E"^n)/(n*A")=
{(E"^n)/n}/A"=
-(-B")^(n-1)-{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*A"^(k-1)*(-B")^(n-k)}+
-Σ[k=2,n-1](nCk/n)*{Σ[m=1,k-1]kCm*A"^(m-1)*(-B")^(k-m)}*E"^(n-k)
もし、
{(E"^n)/n}/A" に A" の素因数が残っていれば、
rad(A")｜E" で、
A" |{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*A"^(k-1)*(-B")^(n-k)}だから、
(-B")^(n-1)も A" の素因数を持ちます。
B" と A" は互いに素だから、これは矛盾します。
なので、
{(E"^n)/n}/A" に A" の素因数は残っていません。
いいかえれば、
{(E"^n)/n}は、ちょうど A" で割り切れることになります。
A"は、(E"^n/n)をちょうど割り切るので、
A"の素因数pの冪は、p^m | E" かつ p^(m+1) ∤ E"のとき
p≠nで、p^mnの形をしています。
また、もし素因数p=nがあれば、
p=nの冪はp^(mn-1)の形をしています。
[3] E"=-E, A"- A=2*E, rad(A) | rad(E), rad(A") | rad(E),
A|(E^n)/n, A"|(E^n)/n から
⇒ rad(A) | rad(A"), n｜E, A"=A+2*E,
AとA"の素因数pの冪は、p^mnまたはp^(mn-1)の形で矛盾 のご説明
A"=A+2*E と rad(A) | rad(E)から
rad(A) | rad(A")
A≠1なので、Aのすべての素因数pは、A"の素因数pです。
(1) E≠0 のとき、
A,A"は、(E^n/n)をちょうど割り切るので、
A,A"それぞれの素因数pの冪は、p^m | E かつ p^(m+1)∤Eのとき
p≠nで、p^mnの形をしています。
また、もし素因数p=nがあれば、
p=nの冪はp^(mn-1)の形をしています。
つまり、
A=∏ [p≠n]p^mn・{∏ [p=nのとき]p^(mn-1)}
A"= A+2*Eより、A"-A =2*E
A"-A =2*Eについて、rad(A) | rad(A")より
左辺Aの素因数pは、左辺A"の素因数pでもあり、
ともに、左辺の素因数pの冪は、
p≠n のとき、p^mn の形を、
p=n のとき、p^(mn-1) の形をしています。
ところが、右辺の素因数pの冪は、
p≠n のとき、p^m、
p=2のとき、p^(m+1)です。
n≧3なので、
p≠n かつ p≠2 のとき、p^mn＞p^m
p=n のとき、p^(mn-1)＞p^m
p=2 のとき、p^mn＞p^(m+1)
左辺のｐの冪と右辺のｐの冪が異なり矛盾します。
(2) E＝０のときは、
(X+Y)^n = Z^nより
X^n + Y^n +{ΣnCk*(X^k)*Y^(n-k)} = Z^n
X^n + Y^n = Z^nで、X,Yは自然数なので、
{ΣnCk*(X^k)*Y^(n-k)}=0となり、矛盾します。
なので、
X^n + Y^n = Z^nで、 X,Y,Zが互いに素な自然数、ｎは奇素数はありません。
※なお、n=4のときの証明は既知とします。
