フェルマーの最終定理のよくある簡易的証明のポイントをご紹介しています。
X^n + Y^n = Z^nで、 X,Y,Zが互いに素、ｎ≧３が素数の自然数
として矛盾を導きます。
この前の、
フェルマーの最終定理のよくある簡易的証明のポイント3_その3
からの続きで、最後のご説明になります。
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— 岡秀雄 (@oka_hideo_) 2021年5月7日
フェルマーの最終定理のよくある簡易的証明のポイント3_その3 - oka_hideo’s bloghttps://t.co/o128TPYB2R
これまで 流れのポイントは、次の[1][2][3][4][5]でした。
[1] E=X+Y-Z と X=A+E, Y＝B+E, Z=C+E から
⇒ A+B=C, n｜E, n*A*B｜E^n でした。
[2] E'=Z+(-Y)-X と Z=C'+E', (-Y)＝B'+E', X=A'+E' から
⇒ C'+B'=A', n｜E', n*C'*B'｜E'^n でした。
[3] E"=Z+(-X)-Yと Z=C"+E", (-X)=A"+E", Y＝B"+E" から
⇒ C"+A"=B", n｜E", n*C"*A"｜E"^n でした。
[4] E'"=(-Z)+Y-(-X) と (-Z)=C'"+E'", Y＝B'"+E'", (-X)=A'"+E'" から
⇒ C'"+B'"=A'", n｜E'", n*C'"*B'"｜E'"^n でした。
[5] E""=(-Z)+X-(-Y) と (-Z)=C""+E""、X=A""+E""、(-Y)＝B""+E"" から
⇒ C""+A""=B"", n｜E"", n*C""*A""｜E""^n でした。
このように、
(E^n)/n, (E'^n)/n, (E"^n)/n, (E'"^n)/n, (E""^n)/n が、
それぞれ、A,B,CおよびA',B',C'およびA",B",C"および
A'",B'",C'"およびA"",B"",C""で、割り切れることから、
次のようにして、n∤X*Y*Zを導きます。
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※n∤X*Y*Zのご説明
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[1][2][3][4][5]より、
E=X+Y-Z
E'=Z+(-Y)-X
E"=Z+(-X)-Y
E'"=(-Z)+Y-(-X)
E""=(-Z)+X-(-Y)
なので、
E'+E'"= { Z + (-Y) -X }+ { (-Z) + Y - (-X) }=0
E"+E""= { Z+ (-X) -Y }+ (-Z) + X - (-Y) =0
E'=-E'"
E"=-E""
E'"=E""=E
(-Y)=B'+E', Y=B'"+E'"より、B’=-B'"=-B
(-X)=A"+E", X=A""+E""より、A"=-A""=-A
Z=C"+E", (-Z)=C'"+E'"より、C'"=-C"=-C
また、
X=A+E=A'+E'
Y=B+E=B"+E"
Z=C'+E'=C+E
ここで、n |Ｅについて
mを自然数、n^m | E, n^(m+1)∤E とすると、
n^mn | E^n, n^(mn+1)∤E^n になります、
n | X*Y*Z とすると、
(1) n | X なら、
[1][2]のAとA'について、
(E^n)/nがちょうどA,A'で割り切れるから、
n^(mn-1)|A, n^(mn-1)|A' より、A'-A=2Eなので、n^(mn-1)|2E
n≧3は素数だから、n^(mn-1)|E
ところが、mn-1 ≧ m+1
(mn-1)-(m+1)=m(n-1)-2=m(n-3)+2(m-1)≧0
n^(m+1)∤Eなので、(mn-1) ≧ (m+1)より、
n^(mn-1)∤Eこれはn^(mn-1)|Eに矛盾します。
つまり、n∤Xとなります。
これは、n∤A', n∤Aを意味します。
(2) n | Y なら、
[1][3]のBとB"について、
(E^n)/nがちょうどB,B"で割り切れるから、
n^(mn-1)|B, n^(mn-1)|B" より、B"-B=2Eなので、n^(mn-1)|2E
同様にして、n∤Yとなります。
これは、n∤B'', n∤Bを意味します。
(3) n | Z なら、
[1][2]のCとC'について、
(E^n)/nがちょうどC,C'で割り切れるから、
n^(mn-1)|C, n^(mn-1)|C' より、C'-C=2Eなので、n^(mn-1)|2E
同様にして、n∤Zとなります。
これは、n∤C', n∤Cを意味します。
したがって、n∤X*Y*Z、n∤A*B*C となります。
[6] n∤X*Y*Zから A=a^n, B=b^n, C=c^nと A+B=C より
⇒ a^n＋b^n＝c^n になって、 E＝0と X+Y=Z から、
矛盾を導きます。
n∤X*Y*Z、n∤A*B*Cでした。
したがって、A,B,Cのすべての素因数pは、p≠nで、
A,B,Cは、E^nをちょうど割り切るので、
それぞれの素因数pの冪はp^mnの形をしています。
つまり、A=∏ p^mn=(∏ p^m)^n
ここで、(∏ p^m)=aとおくと、A=a^nとなります。
同様に、B=b^n, C=c^nの形にあらわされます。
さらに、A+B=Cより、a^n+b^n=c^nとなります。
ところが、[1]より、
n≧3は素数,
X,Y,Z,E,A,B,C,a,b,cは自然数なので、
X=A+E＞A=a^n＞a, Y=B+E＞B=b^n＞b, Z=C+E＞C=c^n＞cより
X＞a, Y＞b, Z＞c, a^n+b^n=c^nとなります。
X^n+Y^n=Z^n (n≧3は素数)の
Zの最小性を仮定すれば、矛盾するので、E=0となります。
n≧3は素数で、
n|E,n|E',n|E",n|E'",n|E""より、
もし、E*E'*E"*E'"*E""=0なら、
E=0なら、 X=A,Y=B,Z=C で、 A+B=Cより、 X+Y=Z
E'=0なら、X=A',-Y=B',Z=C' で、A'=C'+B'より、X=Z-Y
E"=0なら、-X=A",Y=B",Z=C" で、B"=C"+A"より、Y=Z-X
E'"=0なら、-X=A'",Y=B'",-Z=C'"で、A'"=C'"+B'"より、-X=-Z+Y
E""=0ならX=A"",-Y=B"",-Z=C""で、B""=C""+A""より、-Y=-Z+X
いずれも、X+Y=Zになるので、
(X+Y)^n = Z^nより
X^n + Y^n +{ΣnCk*(X^k)*Y^(n-k)} = Z^n
X^n + Y^n = Z^nで、X,Yは自然数なので、
{ΣnCk*(X^k)*Y^(n-k)}=0となり、矛盾します。
なので、 X^n + Y^n = Z^nで、 X,Y,Zが互いに素、ｎ≧３が素数の
自然数はありません。
